понедельник, 18 апреля 2016 г.

Вырожденный треугольник

В заключение мы проверим закон косинусов для периметра на вырожденном треугольнике. Есть у математиков такая штучка. Чтобы получше в этой штучке разобраться, нам придется немного позаниматься фитнесом. Здесь может быть два случая. Становимся ровно, ноги на ширине плеч. Наши ноги образовали обычный треугольник, в котором сами ноги - это бедра равнобедренного треугольника, расстояние между пятками - основание треугольника. Теперь становимся в позу "пятки вместе, носки врозь" - у нас получился вырожденный треугольник. Вырожденным такой треугольник называется потому, что до полноценного треугольника ему чего-то не хватает. В данном случае - одной стороны. Нет, вырожденность - это не генетический сбой в наследственности треугольника. Это, скорее, увечье, полученное в результате милого общения с математиками. Хотя, гораздо уместнее здесь будет сравнение с религиозной практикой. У французских монахов кролик - это рыба (вера - верой, а жрать-то хочется, даже в Великий пост), у математиков отрезок - это вырожденный треугольник.

Теперь упражнение по сдвиганию бедер проделаем с нормальным треугольником. Если мы уменьшим основание равнобедренного треугольника до нуля, мы получим два совпадающих отрезка. Сумма углов этого вырожденного треугольника равна 180 градусов. А как иначе? Он же треугольник! Угол при вершине становится равным нулю, значит углы при основании принимают значение 90 градусов. Два угла по 90 градусов дают в сумме 180 градусов - всё сходится.

Вырожденный треугольник. Теорема косинусов для периметра. Математика для блондинок.
Вырожденный треугольник

Как и следовало ожидать, периметр вырожденного треугольника (он же "два совпадающих отрезка", он же "один отрезок") оказался равен двум длинам его стороны. Напомню, мы считаем, что обе стороны такого вырожденного треугольника равны.

Рассматриваем второй случай. Вернемся к фитнесу. Ставим ноги в исходное положение - на ширину плеч. Раздвигаем ноги в стороны до тех пор, пока мы не сядем на поперечный шпагат. Свой подвиг я на ютуб не выкладываю - хвастаться нечем, признаюсь честно. Не многие читательницы могут это продемонстрировать. Про читателей я вообще молчу. Но в математике такой трюк выполняется элементарно просто - самим математикам на шпагат садиться не нужно.

Если мы совместим верхнюю вершину треугольника с основанием, мы получим второй вид вырожденного треугольника. Это отрезок, равный сумме двух других отрезков. Сумма углов здесь тоже равна 180 градусов, только теперь это величина всего одного угла.

Вырожденный треугольник. Теорема косинусов для периметра. Математика для блондинок.
Вырожденный треугольник
Как видите, в вырожденном треугольнике (он же "сумма отрезков") второго типа теорема косинусов для периметра работает безотказно. Почему после шпагата ноги разные? Так треугольники бывают не только равнобедренные, но и разносторонние.

Будем считать, что терему косинусов для периметра мы проверили на работоспособность и работает она безотказно. Одномерный отрезок (напомню, треугольник - это двухмерная геометрическая фигура) можно считать нижней границей применения теоремы косинусов. Где у теоремы косинусов верхняя граница? Для ответа на этот вопрос, мы перейдем к рассмотрению теоремы косинусов в общем виде.

Комментариев нет:

Отправить комментарий