четверг, 1 ноября 2012 г.

Таблица интегралов

Не научный бред с элементами реализма на тему неопределенного интеграла.

Не просите маня в комментариях найти какой-нибудь интеграл. Я не умею находить интегралы, я могу только над ними по прикалываться. Прежде, чем здесь появится таблица неопределенных интегралов, нужно представить определение неопределенного интеграла. Прямо каламбур получился. Неопределенным интеграл называется так не потому, что определение для него никто не придумал, а потому, что с ним нельзя точно определиться. Математики меня заклюют за такое разъяснение.

Неопределенный интеграл и его свойства. Математика для блондинок.
Неопределенный интеграл и его свойства
Как видите, неопределенный интеграл представляет из себя совокупность первообразных для заданной функции. Дальше идет таблица основных неопределенных интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов. Математика для блондинок.
Таблица основных неопределенных интегралов

Если вы любите по вечерам вместо семечек щелкать неопределенные интегралы, тогда большая таблица интегралов для вас. Если вы где-то учитесь, настоятельно рекомендую пользоваться большой таблицей интегралов в качестве ответов, которые обычно размещают в конце учебника. Помните, что вы не в детском садике и задачку без действий вам никто не задаст. Даже в задаче на одно действие между условием и ответом записывают это действие.

Вот большая таблица неопределенных интегралов (картинка 510 на 8 710 пикселей, формат JPG, объем файла 783 килобайта). Эта таблица интегралов содержит 147 представителей этой математической фауны. Я подозреваю, что коллекция эта далеко не полная, но некоторые самые популярные виды интегралов в ней присутствуют. Нажимаете на ссылку - откроется картинка, по виду очень похожая на размотанный рулон туалетной бумаги. Наводите курсор на эту ленту, курсор превращается в лупу со знаком "плюс", жмете. Теперь вы в царстве интегралов. Сохранить память о столь увлекательном путешествии можно при помощи правой кнопки мыши и строчки меню "Сохранить изображение как...". Всё, Третьяковская галерея интегралов переселилась в ваш компьютер.

Это для тех, кто не любит читать всё то, что я пишу. Столь солидную таблицу интегралов я самым бесстыдным образом позаимствовал с сайта Интегралы.ру (здесь же есть решение интегралов онлайн). Таблица интегралов разбита на 12 групп, все их мы рассмотрим более подробно на отдельных страницах.

Таблица интегралов. Математика для блондинок.


Все эти формулы можно увидеть на отдельных страницах этого сайта.

Таблица интегралов 1 - приведены формулы с переменной в первой и второй степени из 1 и 2 разделов.

Таблица интегралов 2 - приведены формулы с квадратными корнями из разделов 3, 4, 5, 6 и 7.

Таблица интегралов 3 - приведены формулы интегрирования из разделов 8, 9 и 10.

Таблица интегралов 4 - приведены формулы интегрирования показательных, тригонометрических и логарифмических функций из разделов 11 и 12.

Как найти неопределенный интеграл? Очень просто. Тупо берете формулу, тупо подставляете в пример. Лично я так делал. Иногда можно чего-то там перегруппировать, упростить, вынести за знак интеграла... На звание самого лучшего в мире искателя интегралов я не претендовал, о чем нисколько не жалею. Вообще, живых интегралов я за свою жизнь так и не встретил. Все они для меня вымерли, как динозавры, сразу же после окончания учебы. Да, я ещё кое-что о них помню. Только и всего.

Теперь немного бла-бла-бла на тему неопределенных интегралов. Чистый бред. Прошу не путать с заявлением о приеме меня в математики.

Очень интересен каламбур, написанный буковками под таблицей основных неопределенных интегралов. На первый взгляд получается, что первообразная на первообразной сидит и первообразной погоняет. Ясно, что записанное выражение и дураку понятно. Но бывают ещё и особо одаренные представители рода человеческого, типа меня. У меня просто мозги отключаются, когда я вижу или читаю подобные фразы. Наверное, инстинкт самосохранения срабатывает - мозг боится собственного вывиха. Долго вспоминал, где у меня лево, где право.

Через пару дней напряженной умственной работы, я пришел к выводу, что в левой части описывается ситуация, когда мы точно знаем, от какой первообразной функции мы получили производную. В правой части мы пытаемся угадать, какой первообразной функции принадлежит производная. На динозаврах это гораздо понятнее. Если у нас есть живой динозавр, то мы точно знаем, как он выглядит, и точно можем сказать, как через десятки миллионов лет будут выглядеть его останки. Но вот когда мы сегодня находим останки динозавров, мы не можем точно сказать, как они выглядели - окраску, голос, запах по останкам определить не возможно. Знак равенства стоит на том основании, что из всех возможных вариантов один точно правильный. В отличии от динозавров, математические функции математики представляют в абстрактном виде, вне времени - одновременно и настоящее, и будущее, и прошлое.

Теперь эта же мысль, но языком математических формул. Используем определение и свойства неопределенных интегралов. Возьмем первообразную функцию с константой и посмотрим, что происходит.

Первообразная функция. Математика для блондинок.
Первообразная функция
Здесь на первое место выступает порядок выполнения математических действий. Если мы сперва дифференцируем первообразную функцию, то константа теряется. После интегрирования её нужно восстанавливать для сохранения равенства. Если применить свойства неопределенного интеграла и взаимно сократить интегрирование и дифференцирование, то первообразная останется в своем первоначальном виде, с константой.

Здесь получается фокус с тузом в рукаве. В определении неопределенного интеграла константа является частью первообразной функции F(x) и отдельно не выделяется - туз спрятан в рукаве. После интегрирования мы добавляем константу, потерявшуюся при дифференцировании - туз достаем из рукава на всеобщее обозрение. В этом случае главным является не сам фокус, а факт присутствия туза у фокусника как до, так и после демонстрации трюка.

Что такое константа? Это число. Геометрически при помощи изменения константы можно сместить график функции F(x) вдоль оси игреков вниз или вверх. В определении неопределенного интеграла указано, что совокупность всех этих первообразных и представляет из себя этот злополучный интеграл. Но это только одна сторона медали.

В определении не указывается, что вся совокупность первообразных рассматривается в одной, кем-то когда-то выбранной, системе координат. А если мы выберем одну первообразную, тогда изменение константы будет смещать систему координат. С точки зрения выбранной первообразной, неопределенный интеграл - это совокупность всех систем координат, в которых может рассматриваться данная первообразная функция.

Чудеса относительности. Если мы сидим попой на поверхности Земли, то мы видим, как Солнце бегает по небу. Если мы сидим попой на Солнце (не бойтесь поджариться, ведь математика - абстрактная наука и позволяет сидеть на чем угодно), то мы видим, как Земля вращается вокруг собственной оси. Всё зависит от выбранной нами точки зрения, что в математике соответствует выбору системы координат.

С учетом относительности влияния константы на сладкую парочку "функция - система координат", первое предложение в определении неопределенного интеграла можно записать так:

Неопределенный интеграл для функции f(x) - это совокупность всех первообразных данной функции или совокупность всех систем координат данной первообразной функции.

Не знаю, как посмотрят на такое развитие сюжета математики, но получилось слишком заумно. Всё это дело можно упростить, если отказаться от пыток восстановить константу в первообразной функции. Ещё раз проконтролируем свои действия. Если у нас есть первообразная функция с константой или без, мы можем точно сказать, как выглядит её производная. Если у нас есть производная, мы не можем точно сказать, от какой именно первообразной она получена.

Всё дело заключается в том, что при взятии производной происходит изменение системы координат. Если мы рассматриваем производную f(x) в измененной системе координат, то восстановить первоначальную систему координат первообразной функции F(x) невозможно. Нельзя воскресить мертвое. Вместо математической точности у нас получается гадание на кофейной гуще. И это гадание выражается в прибавлении константы к скелету первообразной функции.

Задачу эту можно решить на уровне задних парт третьего класса. Почему задних парт? Они находятся дальше всех от испепеляющего светоча знаний, льющегося с классной доски. Почему третьего класса? У них ещё не выработан благоговейный трепет перед учебниками. Просто начинаем фантазировать. Придумываем какое-нибудь новое определение и при помощи него разруливаем ситуацию.

Функция в собственной системе координат Fo(x) - это функция, у которой константа приравнивается к нулю. Так сказать, функция в собственном соку. Классическим примером функций в собственной системе координат можно считать тригонометрические функции. При изучении они рассматриваются без константы.

Поскольку определение неопределенного интеграла уже написано и правила хорошего тона настоятельно не рекомендуют его рихтовать, придумаем еще одно определение какой-нибудь промежуточной фигни. Пусть эта фигня будет называться "определенная первообразная". Теперь берем определение неопределенного интеграла и на его основе пишем свое определение определенной первообразной.

Определенная первообразная для функции f(x) - это первообразная данной функции в собственной системе координат Fo(x). Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) - её первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a меньше x меньше b

Определенная первообразная. Математика для блондинок.
Определенная первообразная
От определенной первообразной можно двигаться налево к неопределенному интегралу путем добавления константы или направо к определенному интегралу путем обозначения пределов интегрирования. Выглядит это приблизительно так.

Свойства определенной первообразной. Математика для блондинок.
Свойства определенной первообразной
В геометрическом смысле определенная первообразная является формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f(x) и прямой х=х. В последнем равенстве с левой стороны находится просто буква икс, обозначающая переменную, с правой стороны - её численное значение.

Дальше ещё несколько слов о константе в неопределенном интеграле. При дифференцировании функции константа превращается в ноль. В математике существует первая, вторая, третья и так далее, производные. Можно предположить, что столько же существует и неопределенных интегралов. Берем результат интегрирования и снова интегрируем. Вот что может получиться...

Ветхий Завет от Матана.

Вначале ничего не было. Потом было слово. Точнее, два слова - Неопределенный Интеграл. И создал Неопределенный Интеграл константу. А потом Он создал переменную. И стала переменная плюс константа. А потом Неопределенный Интеграл создал...

Первообразная константы. Математика для блондинок.
Первообразная константы
Вот так и появился этот мир, в котором мы живем. Аминь. Пардон, плюс константа.

Если вас не устраивает такая история сотворения мира, эти же формулы можно трактовать как историю Большого Взрыва. Ведь ученые уверяют, что началось всё с точки, то есть с нуля.

Сергей Манулов, давний друг этого сайта, предлагал мне опубликовать в одной таблице интегралы рядом с производными. Так действительно будет нагляднее и понятней. Но здесь есть два момента. Во-первых, таблица получится такой широкой, что в этот сайт явно не влезет. Во-вторых, насколько я помню, таблица производных несколько меньше, чем таблица интегралов. Ну не любят математики играть в производные. Кого интересует исследование всяких каракуль, пусть даже и обличенных в математические формулы? А вот игры в интегралы среди математиков очень даже популярны. По своей популярности они могут уступать разве что играм в комплексные числа. Наверное, так получается потому, что при помощи определенных интегралов можно находить площади криволинейных трапеций или что-то там ещё. Математики играют в свои любимые игрушки и вроде как полезным делом заняты.

Что нужно помнить о неопределенных интегралах? Как молитва заканчивается словом "Аминь", так любой неопределенный интеграл заканчивается словами "плюс константа".

35 комментариев:

  1. Площадь трапеции (криволинейной) считается, увы, по определённому интегралу... И никакой "плюс константы" там не получается.
    В худшем случае мы можем получить несобственный интеграл... но и они считаются без особого труда...
    А.Н.Оним

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. А что такое определенный интеграл и чем он отличается от неопределенного? Вы смысл того, что делаете, не пробовали вникать?

      Удалить
    2. Не только пробовал вникать, но и знаю различия между определённым и неопределённым интегралом. :)
      Как-то так...
      А.Н.Оним

      Удалить
    3. Хорошо. Я как-нибудь специально остановлюсь на этом моменте, сравним результаты:)

      Удалить
    4. Это объяснение интеграла для блондинок? Два человека меряются кто лучше знает интегралы ? Браво!

      Удалить
    5. Со стороны действительно выглядит глупо.

      Удалить
  2. Анонимный12 июня 2014 г., 19:45

    Давайте я выскажусь от лица математиков. Поскольку цикл статей задаёт тон, заранее предупреждаю - изложение будет не слишком серьёзным, хотя на истинность изложенных там фактов это не влияет.
    > А что такое определенный интеграл и чем он отличается от неопределенного?

    Вообще-то определённый интеграл - это совокупность всех первообразных данной функции. Автор статьи путает первообразную и неопределённый интеграл, оттуда у него и беда с константой.

    Смотрите. Вот если вы, озверев от спора в комментариях, выбросите компьютер в окно, он начнёт падать, подчиняясь определённому закону. Его ускорение будет равно ускорению свободного падения для Земли - то есть скорость будет прирастать примерно на 9,81 метра в секунду за секунду. Скорость компьютера в заданное время t (от вашего окна в сторону земли под ним - горизонтальную составляющую скорости мы сейчас рассматривать не будем) будет считаться как раз как связана с интегралом от ускорения. Это первообразная. Для конкретного случая она одна - константы тут нет. Чтобы понять это, не обязательно швырять в окно компьютеры (ну или что-то менее ценное) и засекать время - понятно, что закон для конкретного падения один, благо мы швыряем один компьютер, а звук его столкновения с землёй отрезвляет и вряд ли вы захотите кинуть второй компьютер сразу же. Однако дело в том, что компьютер может иметь начальную скорость - если вы в сердцах выкинули его под углом вверх, то вначале он какое-то время имеет отрицательную скорость, поднимаясь под углом к горизонту. Если компьютер большой и тяжёлый, и вы сперва поставили его на наклонный подоконник, а потом с трудом спихнули вниз, то вы придали ему некоторую начальную скорость. Так вот, компьютер будет набирать скорость направленную к земле всякий раз в одном и том же темпе, но вот конкретное уравнение, связывающее его скорость с моментом времени t может быть разным в зависимости от начальной скорости. Вот эта начальная скорость и есть та самая константа C, про которую говорилось выше, а неопределённый интеграл - это набор всех возможных первообразных. Как бы вы не бросали компьютер, он будет вести себя одинаково - сперва, если вы бросили его вверх, замедлять подъём, а потом полетит вниз всё быстрее и быстрее. Вот набор функций, описывающих это движение и есть неопределённый интеграл от скорости. А так как не зная начальной скорости мы не сможем выбрать из всего этого набора нужную, то и получается, что записывать этот набор приходится с константой С.

    Когда же мы считаем определённый интеграл, то есть, например, считаем разницу скоростей набранную конкретным компьютером за некий период (скажем, с момента через 0,5 секунды со звука разбитого стекла и отправки компьютера в свободный полёт, и до момента в 1,2 секунды - ну надо нам понять, пострадают ли прохожие под окном), то нам надо подсчитать разницу в скорости в эти моменты, и вот там начальная скорость будет встречаться дважды - и в уменьшаемом, и в вычитаемом, потому она уйдёт. Стало быть вот он, "отваливающийся хвост" - для определённого интеграла константа как раз не нужна...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный12 июня 2014 г., 19:54

      P.S. Так как исправлять комментарии тут не получается, сразу предупреждаю про опечатку. Естественно, в определении "Вообще-то определённый интеграл - это совокупность всех первообразных.." надо читать "неопределённый". Тому, кто читал текст ниже, это должно быть сразу понятно - а арабские народы со своей пословицей "поспешность - изобретение шайтана" доказали свою мудрость и применимо к набору комментариев. Прошу прощения у читателей также и за стилистические корявости - текст набран в некоторой спешке.

      Удалить
    2. Лично я с констанстой категорически не согласен. Какая разница, как и с какой высоты обезьяна бросает банан, а человек компьютер? Закон падения всегда один, а константа - это гадание на кофейной гуще, попытка учесть поведение всех идиотов. Нужно разделять законы природы и собственные домыслы.

      Получается, что первообразная - это одна задача. Константа - это совершенно другая задача, никак не связанная с первой задачей. Неопределенный интеграл - это попытка одновременного решения двух не связанных между собою задач. Неопределенный интеграл - это решение первой задачи при конкретных условиях. Лично я это так вижу. Для меня математика - это не Библия, а конструктор лего)))

      Удалить
    3. Кстати, есть у меня парочка математических теорий, которые позволяют свести неопределенный и определенный интеграл в одно целое. Зачем забивать себе голову никому не нужными константами?

      Удалить
    4. Я хоть и не автор комментария выше, но мнение свое выражу. Обращаюсь к автору статьи. Вот давайте посмотрим на обычное отображение f(x)=x^2. Чтобы не вызывать негодования с вашей стороны по поводу константы С, просто скажем, что первообразная (именно первообразная) данного отображения равна x^3/3. Действительно, дифференцируя x^3/3 и получаем x^2. А теперь рассмотрим x^3/3+1. Нетрудно догадаться, что после взятия производной, мы тоже получим x^2. Так же и с x^3/3+10, x^3/3+20 и так далее. Получается, что верны все варианты, не так ли? Но мы, говоря в ваших же терминах, не будем "гадать на кофейной гуще", выбирая ту первообразную, которая нам больше приглянется. Мы объединим их все в один вариант, который будет предельно понятен и верен. Это x^3/3 + С. (извиняюсь за употребление С, которая вам так неприятна). Неопределенный интеграл. Который включает в себя все первообразные f(x)=x^2. Я вам вполне всерьез советую разделить для себя раз и навсегда эти два понятия - первообразная и неопределенный интеграл. Это не одно и то же. И вам никто не запрещает убирать константу, раз вы так с ней согласны. Просто тогда используйте правильное обозначение того, что вы делаете, а именно, вычисления одной из бесконечного числа первообразных для функции, а не взятия одного неопределенного интеграла, и будет вам счастье.

      Удалить
    5. Анонимный13 июня 2014 г., 6:27

      Отвечу как автор того комментария.
      > Неопределенный интеграл - это решение первой задачи при конкретных условиях. Лично я это так вижу. Для меня математика - это не Библия, а конструктор лего)))

      Беда в том, что при этом вы пытаетесь ввести свой собственный язык. Это примерно как заявить - "для меня волки - это любые дикие четвероногие, похожее на собак, а не просто конкретные животные семейства псовых". Для некоторых задач это может быть даже удобно (например, в окрестностях европейских городов вы имеете нулевые шансы встретить чепрачного шакала), но надо понимать, что в этом случае вы оперируете уже другим понятием, и когда будете использовать чужие труды, где написано "волк", "шакал", "койот" и так далее, вам придётся переводить это на свой язык. Точно так же читатели должны знать, что ваш "волк" и "волк" в нормальном зоологическом труде - разные звери. Вот во избежание такого разнобоя (который отмечали ещё античные, а после порицали средневековые авторы - скажем, Фрэнсис Бэкон называл это "идолом площадей" и ставил в числе четырёх основных преград на пути познания - и принято пользоваться единой терминологией. В математике особенно - потому что математические объекты абстрактны, и кроме словесного определения для них обычно нет хорошего способа представления.

      Вот в тот момент, когда вы пишете обзорную статью для других (то есть переходите от личного использования термина к обучению) вы теряете право использовать личную терминологию, противоречащую существующей, кроме редких случаев опровержений. Просто потому, что тем самым вы создаёте проблемы вашим читателям - им потом придётся самим выяснять, что вот факт А из вашей статьи верен для обычных волков, а факт Б - нет, и относится к шакалам, которые названы тем же словом, и им будет трудно разговаривать с зоологами. Это уже не вопрос Библии и LEGO, а вопрос элементарного уважения к своим читателям.

      Удалить
    6. Затюкали... И что же я там такого написал? Придется перечитать и исправить там, где я не прав. Всем комментаторам большое спасибо за разъяснение разницы между первообразной и неопределенным интегралом. Можете меня стрелять, но одна из этих штук явно лишняя - не так подобные задачи должны решаться. Впрочем, выбор метода решения задачи - это личное дело каждого. Главное, чтобы было из чего выбирать.

      Меня вы не понимаете и понять не сможете, до тех пор, пока я с чувством, с толком, с расстановкой не объясню свой подход. Закончу с пропорциями, покажу другие способы решения уже давно решенных некоторых задач, в том числе и интегралов.

      По поводу введения в заблуждение читателей вы абсолютно правы - не стоит быть таким же брехливым выродком, как путин)))

      Удалить
  3. Хочу отметить то, что мало того, что у автора этой статьи есть пробелы в знаниях и уровень грамотности его в рамках математической теории примерно равен уровню троечника-первокурсника с матфака, так еще и сам способ донесения информации до читателей странный. Взять ту же огромную таблицу интегралов - учиться по ней брать интегралы нецелесообразно и контрпродуктивно. Почему? Да потому что таблица должна содержать действительно табличные интегралы и быть минимальной. Ведь процесс обучения взятию интегралов не сводится к отысканию этого интеграла где-то в готовом расписанном виде, а к приведению интеграла к табличному различными методами - подстановками, интегрированием по частям и т.д. В идеале, после обучения человек должен видеть, каким образом взять тот или иной интеграл наиболее невремязатратно и удобно. В этом и есть весь смысл.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Автора статьи я обсуждать не буду по личным соображениям - я к нему не равнодушен))) А что касается обучения... Имхо, уже давно прошли те времена, когда шаманята должны были знать и уметь абсолютно всё то, что знает и умеет шаман, иначе их съедят вожди с вождятами. "В наш век, когда космические корабли бороздят просторы Большого театра" "наиболее невремязатратно и удобно" - это гуглить Интернет. Кому, кроме математиков, сегодня нужны интегралы? Думаю, таких людей не много.

      Удалить
    2. Не могу пройти мимо такого...
      Ага. И выращивать олигофренов? Которые только и умеют, что "гуглить" информацию в Интернете. А если вдруг Интернет у них отключат, 3 часа будут думать, как открывается книга... И то, в лучшем случае. А то, что, по вашему мнению, интегралы почти никому не нужны, не дает вам морального права писать статьи с лжеинформацией о них и контрпродуктивными методами обучения интегрированию. Интегралы, как правило, изучают большинство студентов даже не математических специальностей. И не факт, что на экзамене дадут "загуглить" что-то. Если да - то это уже вопрос компетенции преподавателей, а это совсем другая история.

      Удалить
    3. Так ведь вся система образования на это и рассчитана - воспитывать дрессированных обезьян, готовых исполнять возложенные на них функции в любой бюрократической системе.

      Преподаватели с этой таблицей легко справятся, а продавцы оценок получат свои деньги в любом случае - с гуглом или без.

      Удалить
    4. Тут дело только в отношении к современному образованию. Кстати говоря, каждый сам за себя решает, что он хочет получить на выходе из университета - знания и умение их применять или же навыки дрессированной обезьяны.

      Удалить
    5. Отчасти я согласен. Но есть и другой момент - общество. Когда даже от уборщицы требуют диплом о высшем образовании, это говорит об уровне упадка образования. Где-то в Интеренте прочитал: "Принимали на работу продавщицу, устроили конкурс дипломов. Победил диплом МГУ". Диплом о высшем образовании превращается в ещё одну обязательную бумажку. И здесь уже не важно, учился человек или тупо купил. Кстати, с научными диссертациями ситуация не лучше - торговля процветает не в одной стране мира.

      Удалить
    6. Вы меня убедили в необходимости переделать статью. Я за воспитание разумных существ, а не дрессированных животных.

      Удалить
  4. Ни одна из этих "штук" не лишняя. Есть определение первообразной. Первообразная функции f(x) - функция F(x) такая, что производная (F`(x)) равна f(x). А есть определение неопределенного интеграла. Неопределенный интеграл функции - совокупность всех первообразных этой функции. Считать что-то из этого лишним - то же самое, что стоять перед вишневым садом и говорить, что что-то здесь лишнее: или весь сад или каждое дерево из сада...
    И еще хочу прокомментировать ваши рассуждения по поводу определенного интеграла.
    Вы пишете:
    "Если какую-нибудь каракулю (график функции) описать математической формулой (алгебраическое выражение функции) и потом проинтегрировать, мы снова получим каракулю, только другую (в результате интегрирования получается новая функция, график которой мы можем нарисовать). Так вот, мы не знаем точно, на каком расстоянии от горизонтальной оси координат нужно рисовать вторую каракулю."
    И далее:
    "Теперь у меня возникает совсем не детский вопрос: если мы не знаем расстояния от горизонтальной оси координат до кривой, ограничивающей криволинейную трапецию, как мы можем найти площадь этой самой трапеции? Как найти определенный интеграл при таких диких условиях?"
    Насколько я могу судить, вы думаете, что при помощи определенного интеграла от a до b ∫ f(x) = F(x) +C мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции F(x) +C ? Отсюда, как я понимаю, такое негодование по поводу константы и расстояния до оси x? Если да, то советую вам разобрать значение и определение определенного интеграла Римана и доказательство формулы Ньютона-Лейбница.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Кстати, буду очень признателен, если Вы найдете ошибку в решении задачи о цилиндре и покажете мне её. В то, что математики при помощи производной правильно решают задачу о прямоугольном параллелепипеде я верю гораздо больше, чем в то, что я правильно решаю задачу о цилиндре. На стороне математиков не один десяток лет опыта. Но и с цифрами не поспоришь.

      Удалить
    2. Я не буду влезать в чужие дебри, тем более, что любой из великих математиков может ошибаться. Из всей матанистской премудрости меня заинтересовал всего один вопрос. При решении задачи с цилиндром я умнее математиков. При решении подобной задачи с прямоугольным параллелепипедом математики умнее меня. При решении обеих задач мы пользуемся каждый своими инструментами. Вот это меня действительно озадачило.

      Удалить
    3. "Используя собственные математические инструменты, не связанные с производными, мне удалось получить площадь полной поверхности цилиндра в 141,432 сантиметра квадратных. Почти в два раза меньше."
      Какие методы? Где они описаны? Как я могу найти здесь ошибку, если нет никаких данных, кроме полученного ответа? А по поводу решения с производной: за исключением вычислительной ошибки там все верно. Только нет проверки - убывает функция или возрастает. Так как минимальное значение могло быть на концах определения переменной. Приведите свои методы - я с удовольствием скажу, что там не так.

      Удалить
  5. Это не "чужие дебри", это основная теорема анализа, имеющая формальное доказательство. Если не верите в правильность формулы, никто вам не мешает доказать так же формально ее неправильность, не так ли? Вы просто пытаетесь, как говорится, "лезть в монастырь со своим уставом". Как можно рассуждать о том правы математики, умны ли или нет, если даже не знаете основных математических определений и связи между ними? Раз не хотите читать доказательство - открою вам великую тайну: при вычислении определенного интеграла константы просто напросто сокращаются, математики ни в какие рукава их не прячут.
    P.S. По нажатии на слово "цилиндром" открывается http://igruli.com.ua/...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Зацепилы вы меня своими интегралами... Читал я ваши определения "на карте - сапог сапогом"))) Да, определенный интеграл я понимаю так, как верующий понимает проповедников - неправильно. Спорим мы по поводу Святой Троицы - Отца (неопределенный интеграл), Сына (определенный интеграл) и Духа Святого (первообразная). Да, я в этом абсолютно ничего не смыслю, вынужден признать. Но и отсылание к Библии (определениям) - самый последний аргумент в споре верующих. Тем более, если Библия (определение) врет: "Если f непрерывна на отрезке [ a,b ] и Ф — её ЛЮБАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ на этом отрезке, то имеет место равенство..." Именно так я и понимал, а оказывается, так понимать нельзя...

      Попробуйте вывести при помощи определенного интеграла формулу площади прямоугольника. Возьмите прямоугольник, потом его производную, после этого определенный интеграл из полученной производной. Задание для детского садика)))

      Удалить
    2. Если вы хотите попытаться найти связь между неопределённым интегралом и ПЕРВООБРАЗНОЙ (пардон за шрифт - но мы же на сайте для блондинок, так выделять можно?) - то вы опоздали примерно на три с половиной века. Эта связь была получена ещё отцами-основателями - и носит название формулы Ньютона-Лейбница.

      > Но и отсылание к Библии (определениям) - самый последний аргумент в споре верующих.
      Строго говоря - это первая вещь, которая должна делаться в споре, чтобы убедиться, что собеседники не говорят про Фому и Ерёму соответственно. Кстати, если брать средневековые теологические диспуты - то там была одна весьма хорошая практика: перед началом спора каждый богослов излагал точку зрения соперника, как он её видел, и к собственно диспуту не приступали, пока оба участника не говорили "да, вы правы - моё мнение именно таково, как вы изложили". Это, в частности, отсекало вариант, когда одна сторона не разбиралась в предмете спора и наделяла устоявшиеся термины своим собственным наполнением.

      Площадь прямоугольника (а заодно криволинейной трапеции и тому подобных фигур) и в самом деле считается через определённый интеграл. Который однозначно связан с ПЕРВООБРАЗНОЙ, а не неопределённым интегралом.

      А до последнего абзаца... Вы считаете, что взятие производной и определённого интеграла должно быть обратными операциями? Беда-то в том, что в общем-то не из чего не следует - претензия получается класса "какой отвратительный инструмент ваша отвёртка: гвозди ей забивать совершенно невозможно"...

      Удалить
    3. Блин, хотел было уже покаяться... Тогда наивный детский вопрос: почему название такое "определенный интеграл", а не "определенная первообразная"? Понимаю, что вопрос риторический.

      Удалить
    4. Анонимный20 июня 2014 г., 7:30

      Если не углубляться в дебри, то ситуация следующая. Интегральное исчисление придумали независимо Ньютон и Лейбниц, каждый из которых использовал свою терминологию, ни одна из которых не совпадала с существующей "теория флюксий и флюент", например), плюс довольно долго эта ветвь анализа не выделялась в отдельную независимую теорию ("задачи вычисления квадратур" и так далее). Потому, когда в теории наводили строгость - а это уже позже Ньютона, это Коши, Риман и так далее - существовали уже сложившиеся научные школы со своей терминологией, на что наложилось ещё национальное соперничество и куча других проблем. Потому строгая формализация теории строилась независимо разными людьми с разной привычной терминологией.

      Вдобавок учитывайте - математики придают большое значение строгости определений, но не названиям - потому что бытовые значения слов всё равно описывают понятие заведомо неточно. Соответственно, любой профессиональный математик умеет от них абстрагироваться. В итоге есть, например, обыкновенные дифференциальные уравнения, но нет необыкновенных дифференциальных уравнений - дополняющий обыкновенные диф. ур-я класс называется уравнениями в частных производных. Или, скажем, есть мартингал в теории меры, но нет других частей упряжи в тамошней терминологии...

      Удалить
    5. Спасибо, было познавательно.

      Удалить
  6. Почитал дебаты.
    Я Олигофрен в высшей степени. Олигофренестей всех оппонентов в их сообществе.
    Но я четко понимаю, имеющиеся два рубля у меня в кормане ни коим образом не изменятся, если их не переводить в долларии. И добавлю я константу или возьму неопределенный и даже определенный интегралусимус. Ни хрена не изменится. А теперь проинтегрируйте математики хреновы. Трех детей, зарплату, любимых кошек, поездку на Мальдивы и отдых в Куршавеле.
    И выведите ту самую константу вашего безумия.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Я тоже самое Олигофрен.
      Но я устал работать руками над видимым образом моего члена.
      Как здесь взять интеграл не обращаясь к метафизикам от науки.
      Может быть просто снять бабу с неопределенным интегралом в башке. И денег давать не надо и интеграл с константой возьмем вдвоем?
      Вот вопрос!!!
      Кончать или брать. Для разных сторон разен. И где интеграл и где константа.Определите Сюбъекты от тматерматеки.

      Удалить
    2. Если бы в истории человечества отсутствовали такие, как "математики хреновы", Вы бы, уважаемый, не на Мальдивы ездили, а сидели бы на дереве и выковыривали блох из своих детенышей. Челябинский метеорит Вам ни о чём не напомнил? По уровню умственного развития мы с Вами не намного отличаемся от динозавров. Если что-то с неба упадет, то ни Мальдивы, ни Куршавель нас не спасут. Вот такая вот константа.

      Удалить
    3. Я не против"Математиков хреновых" вы несколько не поняли иронии. Я против математиков хреновых. А это разные вещи.
      И Куршавель и Мальдивы это неопределенный интеграл. Ну плюхнится еще пару десятков Челябинских метеоритов. А "Куршавели" останутся. И как это проинтегрировать?

      Удалить
    4. Насколько я понимаю, проблема состоит в умении пользоваться математикой. Вы же не едите суп шилом, потому что знаете, в каких случаях шило нужно применять. К математике нужно относиться как к инструменту, а не как к Библии "на все случаи жизни".

      Удалить