четверг, 16 февраля 2012 г.

Основное тригонометрическое тождество

Заглянул в Википедию и посмотрел, что такое основное тригонометрическое тождество. Картинку из раздела Википедии "Тригонометрия" я уже приводил. На специальной странице в Википедии, посвященной основному тригонометрическому тождеству, информации не на много больше: приведено само тождество и добавлено несколько строк пояснений.

Основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице. Основное тригонометрическое тождество Пифагора. Теорема Пифагора в тригонометрии. Математика для блондинок.
В частности, указывается, что иностранцы называют это тригонометрическим тождеством Пифагора или просто теоремой Пифагора. И это всё?! Да уж, не густо. Усаживайтесь по удобнее, разговор у нас будет длинным и нудным, но, думаю, он того стоит.

Я уже говорил, что иностранные математики лучше понимают тригонометрические функции, но и у них не всё так гладко. Вот их картинки.

Основное тригонометрическое тождество. Основное тригонометрическое тождество Пифагора синус и косинус. Теорема Пифагора в тригонометрии и треугольнике. Математика для блондинок.

Основное тригонометрическое тождество. Основное тригонометрическое тождество Пифагора тангенс и секанс. Теорема Пифагора в тригонометрии и треугольнике. Математика для блондинок.
Обратите внимание на последнюю картинку. Теорему Пифагора они представляют через тангенс и секанс и показывают это на треугольнике. Формулы тригонометрического тождества в этом случае приобретают следующий вид:

Основное тригонометрическое тождество. Единица плюс квадрат тангенса угла равен квадрату секанса этого угла. Единица плюс квадрат котангенса угла равен квадрату косеканса этого угла. Основное тригонометрическое тождество Пифагора. Теорема Пифагора в тригонометрии. Математика для блондинок.
Как видите, единица плюс квадрат тангенса угла равен квадрату секанса этого же угла, единица плюс квадрат котангенса угла равен квадрату косеканса этого угла. Очень интересные формулы, в будущем мы к ним вернемся. Есть там и робкая попытка выполнить преобразования тригонометрических функций. Но, наверное, они сами испугались своих действий, ведь полученные формулы необходимо будет объяснять. С точки зрения классического определения тригонометрических функций через отношение координат точек окружности - это задача не из легких.

Основное тригонометрическое тождество. Преобразование . Основное тригонометрическое тождество Пифагора. Теорема Пифагора в тригонометрии. Математика для блондинок.
В низу картинки приведена констатация того факта, что теорема Пифагора, она же основное тригонометрическое тождество, не зависит от направления измерения угла.

Теперь давайте и мы выполним преобразования тригонометрических функций синуса и косинуса. Используем следующие формулы:

Преобразования тригонометрических функций. Синус и косинус. Математика для блондинок.
Обращаю ваше внимание, что в данном случае снова срабатывает принцип "минус на минус дает плюс", только для правила прямого угла: если мы одновременно поменяем угол и название тригонометрической функции, результат останется неизменным. У всех подобных преобразований есть один общий "родитель" - зеркальная симметрия. Любое зеркальное отображение, выполненное дважды, возвращает нас к первоначальному результату. Не зависимо от того, что мы отражаем. Отсюда можно сделать вывод, что все преобразования тригонометрических зависимостей зеркально симметричны преобразованиям углов.

Запишем результаты преобразований в виде основных тригонометрических тождеств:

Основное тригонометрическое тождество. Варианты тригонометрическое тождество Пифагора синус и косинус. Теорема Пифагора в тригонометрии. Математика для блондинок.
В первой строчке, для сравнения, тождество представлено в классическом виде. Если эти тождества выполняются, значит два угла альфа и бета образуют прямой угол. И наоборот, если два угла образуют прямой угол, для них всегда будут выполняться основные тригонометрические тождества. Естественно, возникает вопрос, о каких двух углах идет речь, если классическое определение тригонометрических функций всегда говорит об одном угле между осью икс и единичным отрезком? Думаю, именно это обстоятельство испугало иностранных математиков и не привело их к показанным выше формулам.

Оставим классическое определение на совести математиков, рассмотрим прямоугольный треугольник. Как выглядит типичная формулировка математиков? "Пусть нам дан прямоугольный треугольник. Обозначим угол этого треугольника через альфа..." Вот здесь и возникает первый вопрос: какой именно угол треугольника мы обозначаем через альфа? У треугольника углов аж три штуки. Очень часто математики обозначают буквой альфа именно тот угол, который им нужен в данный момент. Это приводит к тому, что в разных формулах принципиально разные вещи имеют одинаковое обозначение. Потом математики начинают это обобщать и сваливают всё в одну кучу, в которой что-либо понять уже просто невозможно, остается только верить определению.

Обозначать прямой угол в прямоугольном треугольнике не принято. Буквой альфа обозначается один из двух острых углов. Какой именно? Не имеет значения. Теорема Пифагора выполняется как для одного угла, так и для второго. Точно так же для двух острых углов можно определить тригонометрические зависимости. Это проявление относительности тригонометрических функций. Так вот, если мы один острый угол прямоугольного треугольника обозначим через альфа, то углом бета будет второй острый угол. Для двух этих углов записаны наши четыре варианта тригонометрического тождества.

Как же быть с классическим определением тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности? Здесь то же нет особых проблем, если за аналог брать треугольник. Давайте рассмотрим все четыре варианта записи тригонометрического тождества на картинках. Возьмем традиционный тригонометрический круг с радиусом, равным единице и точно такой же прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице. Для наглядности, поместим треугольник в систему координат. Вот классический вариант, когда сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равняется единице.

Преобразование тригонометрических функций. Основное тригонометрическое тождество для угла альфа. Математика для блондинок.
Красным цветом на рисунке выделены особенно важные моменты, на которые нужно обратить внимание. Для перехода от угла альфа к углу бета в тригонометрическом тождестве, нужно принять ряд правил, на которые обычно никто не обращает внимания и которые мы будем считать неизменными:

- косинусом угла является проекция единичного элемента (отрезка или гипотенузы) на ось икс, синусом - проекция на ось игрек;
- начало отсчета угла совпадает с осью икс;
- вершина угла совпадает с точкой ноль системы координат;
- положительное направление отсчета угла совпадает с первой четвертью системы координат, в которой синусы и косинусы положительны.

Математика - это относительность. Мы можем рассматривать неподвижную (стационарную) систему координат с подвижными (динамичными) объектами (отрезком и треугольником), можем неподвижные (стационарные) объекты рассматривать в подвижной (динамичной) системе координат. Результаты будут одинаковыми.

В математике чаще всего используют стационарные системы координат. В жизни каждый из вас пользовался физическим аналогом динамической системы координат - линейкой. При определении периметра многоугольника, нарисованного на бумаге, у вас есть два варианта действий: держать линейку неподвижно и вращать листок с многоугольником, либо оставить листок неподвижным и вращать линейку, измеряя каждую сторону. В первом случае вы пользуетесь стационарной системой координат, во втором - динамичной. В любом случае это даст вам возможность измерить все стороны многоугольника. Вы выбираете ту систему координат, с которой вам удобнее работать. Вы всегда берете с собой линейку и идете с ней в школу, а не наоборот.

В нашем тригонометрическом тождестве мы применим оба метода. Стационарный единичный отрезок мы рассмотрим в динамичной системе координат. При этом нам необходимо будет выделить две системы координат - для угла альфа (её мы обозначим икс альфа и игрек альфа) и для угла бета (икс бета и игрек бета). Динамичный треугольник мы рассмотрим в стационарной системе координат. Для перехода от угла альфа к углу бета нам нужно повернуть треугольник на 90 градусов против часовой стрелки и отразить его зеркально. Этот процесс показан на рисунке ниже. Для наглядности, все обозначения треугольника преобразуются вместе с ним.

Поворот треугольника. Поворот на 90 градусов и зеркальное отображение треугольника. Математика для блондинок.
Теперь рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла бета. Для единичного отрезка оси икс и игрек в этом случае меняются местами, угол бета отсчитывается против часовой стрелки.

Преобразование тригонометрических функций. Основное тригонометрическое тождество для угла бета. Математика для блондинок.
Для тригонометрического тождества в виде квадратов синусов углов альфа и бета в случае единичного отрезка разным углам соответствуют разные системы координат. В случае треугольника синусам разных углов соответствуют разные катеты. Сложение величин, расположенных в разных системах координат, не противоречит правилам математики. Главное, что бы единицы измерения в разных системах координат были одинаковыми. Каждую динамичную систему координат можно рассматривать как последовательный переход от одной стационарной системы координат к другой на разных этапах выполнения математических действий.

Применение динамической системы координат упрощает математическое описание процесса. Например, так мы описываем вычисление периметра многоугольника - сложение отрезков, расположенных под разными углами - без применения средств векторной алгебры или тригонометрических функций. Правила перехода от одной системы координат к другой для разных математических действий могут быть разными. Для тригонометрических функций поворот системы координат на прямой угол приводит к изменению названия этих функций по правилу прямого угла, при условии неизменности всех прочих правил. Выше я специально подчеркивал это, поскольку изменение правил может привести к изменению результатов математических действий.

Преобразование тригонометрических функций. Основное тригонометрическое тождество для синуса. Математика для блондинок.
Если тригонометрическое тождество выразить через косинусы, ситуация получается аналогичной синусам, но рассматриваются проекции на другие оси координат или в треугольнике берутся другие катеты.

Преобразование тригонометрических функций. Основное тригонометрическое тождество для косинуса. Математика для блондинок.
Подставляя в полученные формулы вместо единицы другие варианты этого же тождества, мы можем записать тригонометрическое тождество для двух углов:

Основное тригонометрическое тождество. Форма записи тождества для двух углов. Математика для блондинок.
Выполняться эти тождества будут только в том случае, если сумма углов равняется прямому углу. Если тождество не выполняется, тогда необходимо переходить к форме записи тригонометрического тождества с нейтральными элементами и искать, какой из нейтральных элементов перестал быть нейтральным и начал вносить свои поправки в существовавшее до этого равенство. Тригонометрические тождества с нейтральными элементами записаны с соблюдением симметрии относительно знака равенства.

Основное тригонометрическое тождество. Форма записи тождества с нейтральными элементами. Математика для блондинок.
Как один из вариантов трактовки нейтральных элементов, приведены значения синуса и косинуса прямых углов. Но на практике нейтральный элемент может скрывать любое математическое выражение, имеющее соответствующее значение при данных условиях. Например, основное тригонометрическое тождество перестанет выполняется, если прямой угол в прямоугольном треугольнике перестанет быть прямым (сумма двух углов альфа и бета не равна 90 градусов). То есть, если мы от прямоугольного треугольника перейдем к треугольнику обычному. Для классического определения тригонометрических функций это обстоятельство можно трактовать как переход от прямоугольной декартовой системы координат к косоугольной аффинной системе координат.

Другим примером может служить переход от двухмерного пространства к многомерному. Если единичный отрезок выходит из плоскости двухмерной евклидовой системы координат, тогда тригонометрическое тождество в этой системе перестает выполняться. Единице будет равняться сумма квадратов проекций единичного отрезка на оси координат многомерной прямоугольной системы. В тригонометрической форме проекции будут выражаться через синусы или косинусы углов между единичным отрезком и соответствующей осью координат. Основное тригонометрическое тождество для многомерного пространства можно записать в таком виде (это один из вариантов):

Основное тригонометрическое тождество. Выражение через синусы и косинусы для многомерного пространства. Математика для блондинок.
Поскольку все математические формулы и равенства сводятся к одному из основных математических равенств, то теоретически все математические формулы можно представить в тригонометрическом виде и увязать между собой в единую замкнутую систему. Изменяя отдельные условия, будет осуществляется последовательный переход от одних формул к другим. Восстановление первоначальных условий приведет к первоначальному математическому выражению - начальной формуле. Эти превращения не должны зависеть от того, с какой именно формулы начинаются превращения. При этом необходимо помнить, что чем больше внешних факторов мы рассматриваем, тем сложнее математическое описание.

В следующий раз мы рассмотрим, как осуществляется переход от тригонометрической формы записи теоремы Пифагора к традиционной и что это означает.

2 комментария:

  1. Вот ещё один способ доказательства тождества:

    a-длина противолежащего катета
    b-прилежащего катета длина
    с-гипотенуза (длина)
    С=корень квадратный (a^2+b^2)
    sinA=a\c
    cosA=b\c
    возвёздём синус с косинусо в квадрат:
    (SinA)^2=a^2\c^2=(a^2)\a^2+b^2
    (CosA)^2=b^2\c^2=(b^2)\a^2+b^2
    т.к., с^2=а^2+b^2
    Ну а терь их складываем:
    (SinA)^2+(CosA)^2=(a^2+b^2)\a^2+b^2=1
    ыыыыы

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Да, способов доказательства много. Я же говорю, что математика круглая)))

      Удалить